Propagacja błędu, propagacja niepewności, przenoszenie się błędu – statystyczne zjawisko występujące w operacjach dokonywanych na wartościach obarczonych błędem, np. błędem pomiaru.
Propagacja błędu ma miejsce, kiedy mamy do czynienia z niedokładnością wielkości obliczonej na podstawie wielu pomiarów, na których dokonano pewnych działań algebraicznych. Błąd związany z każdą ze zmierzonych wartości wnosi swój wkład do błędu wielkości końcowej.
Gdy zmienne są wartościami pomiarów eksperymentalnych, obarczone są wówczas niepewnością (błędem) ze względu na ograniczenia pomiarowe (np. precyzję urządzenia).
Dla obliczenia niepewności wielkości fizycznej, która zależy od innych wielkości które można zmierzyć bezpośrednio, najpierw należy ocenić niepewności niezależnych wielkości. Niepewność jest zazwyczaj definiowana jako błąd bezwzględny. Niepewności mogą być również definiowane jako błąd względny (Δx)/x, zapisywany zazwyczaj jako wartość procentowa. Następnie należy stwierdzić, jaki wpływ mają te niepewności na niepewność ostatecznego wyniku.
Reguła pierwiastka kwadratowego w doświadczeniach zliczeniowych[edytuj | edytuj kod]
Dla przypadkowych zdarzeń ze skończonym średnim prawdopodobieństwem, jeśli w czasie t została zliczona ilość to najlepsze przybliżenie średniej wielkości opisuje wzór
Ogólna reguła przenoszenia błędów dla wielkości nieskorelowanych[edytuj | edytuj kod]
Eksperyment polega na przeprowadzeniu pomiaru napięcia na oporniku oraz natężenia płynącego przezeń prądu, oznaczonych odpowiednio oraz celem określenia rezystancji oznaczonej poprzez która, zgodnie z prawem Ohma, jest równa
Znając wyniki pomiaru wraz z ich błędami, oraz można wyznaczyć błąd rezystancji następująco:
Poniżej przedstawiono obliczenie propagacji błędu dla funkcji arcus tangens, jako przykład użycia pochodnych cząstkowych do obliczenia propagacji niepewności.
Niech:
gdzie błędem bezwzględnym pomiaru Pochodna cząstkowa po jest równa:
Zatem wykorzystując propagację błędu można wyznaczyć:
Poniższa tabela ukazuje przykłady wariancji funkcji rzeczywistych zmiennych ze standardowym odchyleniem współczynnikiem korelacji oraz jednoznacznie określonymi stałymi
Funkcja
Wariancja
Dla zmiennych nieskorelowanych termy kowariancji są równe zero. Wyrażenia dla funkcji złożonych mogą zostać przybliżone poprzez złożenie funkcji prostszych. Dla przykładu, poprzez mnożenie, zakładając brak korelacji danych:
Philip R Bevington, D. Keith Robinson: Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences. Wyd. 3. McGraw-Hill, 2002. ISBN 0-07-119926-8. (ang.). Brak numerów stron w książce
Stuart L. Meyer: Data Analysis for Scientists and Engineers. Wiley, 1975. ISBN 0-471-59995-6. (ang.). Brak numerów stron w książce
John R. Taylor: Wstęp do analizy błędu pomiarowego. PWN, 1999, s. 64–102. ISBN 83-01-12876-3.