ගුණෝත්තර ශ්‍රේණි

රූප සටහනේ දැක්වෙන්නේ 2 ට අභිසාරි වන 1 + ½ + ¼ + 1/8 + ...... යන ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියයි.

ගණිතයේදී, ගුණෝත්තර අනුක්‍රමයක් ලෙසද හඳුන්වන ගුණෝත්තර ශ්‍රේණිය, පළමු පදයට පසුව එන සෑම පදයක්ම, පොදු අනුපාතය ලෙස හැඳින්වෙන ශුන්‍ය නොවන නියතය සංඛ්‍යාවකින් ඊට‍ පෙර ඇති පදය ගුණ කිරීමෙන් ලබා ගන්නා සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයකි. උදාහරණයක් ලෙස 2, 6 , 18, 54, ..... යන අනුක්‍රමය පොදු අනුපාතය 3 වු ගුණෝත්තර අනුක්‍රමයක and 10, 5, 2.5, 1.25, ... is a geometric sequence with common ratio 1/2. ගුණෝත්තර අනුක්‍රමයක පදවල එකතුව ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක් ලෙස හැඳින්වේ.

ඒ අනුව ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක (අනුක්‍රමකය) පොදු ස්වරූපය a, ar, ar2, ar3,ar4, ….. වන අතර, ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක පොදු ස්වරූපය a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ………… වේ.

මෙහි පොදු අනුපාතය r = O වන අතර, a යනු අනුක්‍රමයේ ආරම්භක අගයට සමාන වන පොදු සාධකයකි.

මූලික ලක්‍ෂණ

පළමු පදය a සහ පොදු අනුපාතය r වන ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක n වැනි පදය

$a_{n}=a\,r^{n-1}$ මගින් දෙනු ලැබේ.

එවැනි ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක් $n\geq 1$ වන සෑම පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් සඳහාම $a_{n}=r\,a_{n-1}$ යන ආවර්තිත සම්බන්ධය අනුගමනය කරයි. ගොනුව:Tish-pro.JPG

සාමාන්‍යයෙන් දී ඇති ශ්‍රේඪියක්, ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියක් දැයි පරීක්ෂා කිරීමට, අයෙක් සරලවම ශ්‍රේඪියේ අනුයාත පද අතර අනුපාතය සමාන දැයි බලයි.

ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියක පොදු අනුපාතය සෘණ වීමටද පුළුවන එවිට පදයක් ඇර පදයක් සෘණ හා ධන වන සංඛ්‍යා ඇති අනුක්‍රමයක් ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස 1, -3, 9, -27, 81, -243, ...... යනු පොදු අනුපාතය -3 වන ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියකි.

ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියක හැසිරීම පොදු අනුපාතයේ අගය මතරඳා පවතී. පොදු අනුපාතය

• ධන නම්, සෑම පදයක්ම මුල පදයේ ලකුණම ගනී.
• සෘණ නම්, පදයක් ඇර පදයක් සෘණ හා ධන වේ.
• 1 ට වඩා විශාල නම් ධන අනන්තය වෙතට ඝාතිය වර්ධනයක් සිදු‍වේ.
• 1 නම්, ශ්‍රේණියේ නියත අනුක්‍රමයකි
• -1 හා 1අතර නමුත් ශුන්‍ය නොවේ නම්, ශුන්‍ය කරා ඝාතිය අඩුවීමක් සිදුවේ.
• -1 නම් ශ්‍රේණිය ඒකාන්තරණ අනුක්‍රමයකි. (ඒකාන්තරණ ශ්‍රේණි බලන්න)
• -1 ට වඩා අඩු නම්, අනන්තය (ධන හා සෘණ) වෙතට ඝාතිය වර්ධනයක් සිදුවේ.

4, 15, 26, 37, 48, ...... (පොදු අන්තරය 11 වු) වැනි සමාන්තර ශ්‍රේඪියක රේඛීය වර්ධනයට (හෝ අඩුවීමට) විරුද්ධ ලෙස ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪි (-1, 1 හෝ ශුන්‍ය නොවන පොදු අනුපාතයක් සහිත) ඝාතිය වර්ධනයක් හෝ ඝාතිය අඩුවික් පෙන්වයි. T.R මැල්දස් ඔහුගේ ජනගහණය පිළිබඳ මූලධර්මයේ ගණිතමය පදනම ලෙස මෙම මූල ධර්මය භාවිතා කරන ලදී. මෙම ශ්‍රේඪි වර්ග 2 එකිනෙකට සම්බන්ද බව සලකන්න. ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියක සෑම පදයකම ධන පොදු අනුපාතයක් සහිතව ලඝුගණකය ගැනිමෙන් සමාන්තර ශ්‍රේඪියක් ලබාගත හැකි අතරම සමාන්තර ශ්‍රේඪියක සෑම පදයක්ම ඝාතිය කිරීමෙන් ගුණෝත්තර ශ්‍රේඪියක් ලබාගත හැක.